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试证平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和（证明平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和）

发布时间：2024-09-09 06:46:13编辑：卞霭娣来源：

今天小编岚岚来为大家解答以上的问题。试证平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和，证明平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和相信很多小伙伴还不知道,现在让我们一起来看看吧！

1、方法一：利用余弦定理。

2、在平行四边形ABCD中，有：AB＝DC、AD＝BC、∠A＝180°－∠B，∴cosA＝－cosB。

3、由余弦定理，有：AC^2＝AB^2＋BC^2－2AB×BC×cosB，······①BD^2＝AD^2＋AB^2－2AD×AB×cosA＝AD^2＋DC^2＋2BC×AB×cosA。

4、······②①＋②，得：AC^2＋BD^2＝AB^2＋BC^2＋AD^2＋DC^2。

5、方法二：利用向量点积。

6、在平行四边形ABCD中，有：向量AC＝向量AB＋向量AD，向量BD＝向量BA＋向量BC＝－向量AB＋向量AD。

7、∴｜AC｜^2＝｜AB｜^2＋｜AD｜^2＋2向量AB·向量AD，······③　｜BD｜^2＝｜AD｜^2＋｜AB｜^2－2向量AD·向量AD。

8、······④③＋④，得：｜AC｜^2＋｜BD｜^2＝｜AB｜^2＋｜AD｜^2＋｜AD｜^2＋｜AB｜^2。

9、显然有：AD＝BC、AB＝DC，∴AC^2＋BD^2＝AB^2＋BC^2＋AD^2＋DC^2。

10、方法三：利用勾股定理。

11、不失一般性，假设平行四边形ABCD中，∠A为锐角。

12、分别过A、B向DC引垂线，垂足分别为E、F。

13、容易得出：AE＝BF、ED＝FC，∴EC＝ED＋DC＝FC＋DC、DF＝DC－FC。

14、由勾股定理，有：AC^2＝AE^2＋EC^2、BD^2＝BF^2＋DF^2，两式相加，得：AC^2＋BD^2＝2BF^2＋（FC＋DC）^2＋（DC－FC）^2＝2BF^2＋2FC^2＋2DC^2。

15、再由勾股定理，有：BF^2＋FC^2＝BC^2，∴AC^2＋BD^2＝2BC^2＋2DC^2。

16、明显有：AD＝BC、AB＝DC，∴AC^2＋BD^2＝AB^2＋BC^2＋AD^2＋DC^2。

本文就为大家分享到这里，希望小伙伴们会喜欢。

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