【排列组合基本公式】在数学中，排列组合是研究从一组元素中选取部分或全部元素，并按一定顺序进行排列或不考虑顺序进行组合的计算方法。排列与组合是组合数学中的基础内容，广泛应用于概率、统计、计算机科学等领域。掌握排列组合的基本公式，有助于我们更高效地解决实际问题。
一、排列与组合的区别
| 概念 | 是否考虑顺序 | 示例 |
| 排列 | 是 | 从5个不同字母中选出3个并排成一行，不同的顺序算不同结果 |
| 组合 | 否 | 从5个不同字母中选出3个，不考虑顺序，只看选的是哪几个 |
二、排列的基本公式
1. 全排列（n个元素全部排列）
- 公式：
$$
A_n^n = n!
$$
- 说明：n个不同的元素全部排列的方式总数为n的阶乘。
2. 选排列（从n个元素中取出m个进行排列）
- 公式：
$$
A_n^m = \frac{n!}{(n - m)!}
$$
- 说明：从n个不同元素中取出m个进行排列，顺序不同则视为不同结果。
三、组合的基本公式
1. 组合数（从n个元素中取出m个进行组合）
- 公式：
$$
C_n^m = \frac{n!}{m!(n - m)!}
$$
- 说明：从n个不同元素中取出m个进行组合，不考虑顺序，只关注所选元素的集合。
2. 组合数的性质
- 对称性：
$$
C_n^m = C_n^{n - m}
$$
- 递推关系：
$$
C_n^m = C_{n - 1}^{m - 1} + C_{n - 1}^m
$$
四、常见排列组合公式总结表
| 类型 | 公式 | 说明 |
| 全排列 | $ A_n^n = n! $ | n个元素全部排列 |
| 选排列 | $ A_n^m = \frac{n!}{(n - m)!} $ | 从n个元素中取m个排列 |
| 组合数 | $ C_n^m = \frac{n!}{m!(n - m)!} $ | 从n个元素中取m个组合 |
| 对称性 | $ C_n^m = C_n^{n - m} $ | 组合数对称性 |
| 递推关系 | $ C_n^m = C_{n - 1}^{m - 1} + C_{n - 1}^m $ | 组合数递推公式 |
五、应用举例
例1：从5个学生中选出3人组成一个小组，有多少种不同的组合方式？
- 解：使用组合公式
$$
C_5^3 = \frac{5!}{3!2!} = 10
$$
例2：用数字1, 2, 3, 4, 5组成三位数，每个数字只能用一次，有多少种可能？
- 解：使用排列公式
$$
A_5^3 = \frac{5!}{(5 - 3)!} = \frac{5!}{2!} = 60
$$
六、小结
排列与组合是解决“选择”和“排序”问题的重要工具。理解它们的区别和公式，有助于我们在实际问题中快速判断应使用哪种方法。通过表格形式总结基本公式，可以帮助记忆和应用，提高解题效率。