【等比数列前n项和公式是什么】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，称为公比。等比数列的前n项和是计算该数列前n项总和的重要公式，广泛应用于数学、物理、经济等多个领域。
一、等比数列前n项和的基本概念
等比数列的一般形式为：
$$ a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1} $$
其中，$ a $ 是首项，$ r $ 是公比（$ r \neq 1 $）。
当我们要计算这个数列前n项的和时，就需要使用等比数列前n项和公式。
二、等比数列前n项和公式
等比数列前n项和公式如下：
$$
S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad (r \neq 1)
$$
或等价地：
$$
S_n = a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} \quad (r \neq 1)
$$
其中：
- $ S_n $ 表示前n项的和；
- $ a $ 是首项；
- $ r $ 是公比；
- $ n $ 是项数。
三、特殊情况说明
如果公比 $ r = 1 $，则数列变为：
$$ a, a, a, \ldots, a $$
此时，前n项和为：
$$
S_n = a \cdot n
$$
四、总结表格
| 项目 | 内容 |
| 数列形式 | $ a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1} $ |
| 公比 | $ r $（$ r \neq 1 $） |
| 首项 | $ a $ |
| 前n项和公式 | $ S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ 或 $ S_n = a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $ |
| 特殊情况 | 当 $ r = 1 $ 时，$ S_n = a \cdot n $ |
五、实际应用举例
例如，已知等比数列首项 $ a = 2 $，公比 $ r = 3 $，求前5项的和：
$$
S_5 = 2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{243 - 1}{2} = 2 \cdot 121 = 242
$$
因此，前5项的和为 242。
通过掌握等比数列前n项和的公式及其应用场景，可以更高效地解决相关数学问题，并在实际生活中进行合理的数值估算和分析。