【什么是正定矩阵】正定矩阵是线性代数中一个重要的概念，广泛应用于数学、物理、工程和机器学习等领域。它不仅在理论分析中具有重要意义，还在优化问题、二次型分析和数值计算中发挥着关键作用。
一、正定矩阵的定义
一个 n×n 的实对称矩阵 A 被称为 正定矩阵，如果对于所有非零向量 x ∈ ℝⁿ，都有：
$$
x^T A x > 0
$$
这个条件也被称为 二次型正定性。
二、正定矩阵的性质总结
| 属性 | 描述 |
| 对称性 | 正定矩阵必须是对称的（即 A = A^T） |
| 特征值 | 所有特征值都为正实数 |
| 行列式 | 行列式大于 0 |
| 主子式 | 所有顺序主子式都大于 0 |
| 可逆性 | 正定矩阵一定是可逆的 |
| 与二次型的关系 | 对应的二次型总是正的，除非向量为零向量 |
三、正定矩阵的判定方法
| 方法 | 说明 |
| 特征值法 | 计算矩阵的所有特征值，若全部为正，则为正定矩阵 |
| 求行列式 | 计算所有顺序主子式的行列式，若均为正，则为正定矩阵 |
| 二次型检验 | 任取非零向量 x，验证 x^T A x 是否始终为正 |
| Cholesky 分解 | 若能进行 Cholesky 分解，则矩阵为正定矩阵 |
四、正定矩阵的应用场景
| 领域 | 应用 |
| 优化问题 | 在凸优化中，目标函数的 Hessian 矩阵为正定时，问题为凸优化问题 |
| 机器学习 | 在支持向量机、高斯过程等模型中，核矩阵常要求为正定矩阵 |
| 数值分析 | 正定矩阵在求解线性方程组时更稳定，适合使用共轭梯度法等迭代方法 |
| 统计学 | 协方差矩阵通常为半正定矩阵，正定则表示变量之间无完全相关性 |
五、正定矩阵与半正定矩阵的区别
| 特征 | 正定矩阵 | 半正定矩阵 |
| 二次型 | 始终大于 0 | 大于等于 0 |
| 特征值 | 全部为正 | 至少有一个为 0 或全为非负 |
| 可逆性 | 可逆 | 不一定可逆 |
| 应用场景 | 更严格的正性要求 | 更宽松的条件，适用于更多情况 |
六、举例说明
例如，以下是一个 2×2 的正定矩阵：
$$
A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}
$$
其特征值为 3 和 1，均大于 0，因此该矩阵是正定矩阵。
总结
正定矩阵是一种具有严格正性的对称矩阵，其在数学和工程中应用广泛。判断一个矩阵是否为正定，可以通过特征值、主子式、二次型等多种方式进行验证。理解正定矩阵的性质和应用，有助于更好地掌握线性代数的核心思想，并在实际问题中加以运用。